"Наука и Жизнь", №2, январь 1893 год

РѢШЕНIЕ ЗАДАЧИ 49.

Задача: Показать, при какихъ значенiяхъ а и b средняя ариѳметическая ихъ всегда меньше средней геометрической.

Рѣшенiе: Нахожденiе величинъ для a и b, удовлетворяющихъ данному условiю, сводится на нахожденiе величинъ, удовлетворяющихъ неравенству (а — b)² < 0.

Мы знаемъ уже, что при значенiяхъ для а и b цѣлыхъ и дробныхъ, положительныхъ и отрицательныхъ, (а — b)² всегда больше нуля. Посмотримъ, будетъ ли (а — b)² < 0 при значенiяхъ мнимыхъ. Положимъ a = a₁√—1 и b = b₁√—1 гдѣ а₁ и b₁, могутъ быть положительными, отрицательными, цѣлыми и дробными. Если при такихъ значенiяхъ (а — b)² < 0, то теорема доказана.

Дано (а₁(√—1) — b₁(√—1))². Будетъ ли это выраженiе меньше нуля?

Оно равно (√—1)²(a₁ — b₁)² = —1(а₁ — b₁)² = —1(a₁ — b₁)², но (a₁ — b₁)² всегда величина положительная, а потому —(a₁—b₁)² < 0, или (a — b)² < 0 при мнимыхъ значенiяхъ.

Докажемъ вторую половину нашей теоремы.

а² — 2ab + b² < 0. Прибавимъ къ обѣимъ половинамъ неравенства по 4аb, получимъ: (а + b)² < 4аb или ((a + b)/2)² < аb, или ((a + b)/2)< √ab, т. е. мы доказали, что средняя ариѳметическая величинъ a и b меньше средней геометрической ихъ, если a и b имѣютъ значенiя мнимыя.

Вѣрныя рѣшенiя прислали: зад. 50: Н. Зассъ. (С.-Пб.), зад. 49-й И. Тихомiровъ (Харьковъ).

Примечание составителя.
На мой взгляд, в выражении, выделенном в тексте подчеркиванием, была допущена ошибка в знаке неравенства. Оригинальное выражение в тексте журнала выглядит следующим образом:

(а + b)² > 4аb