"Радио Всем", №14, июль, 1929 год, стр. 409-410

Математика радиолюбителя

инж. М. А. Нюренберг

В предыдущей статье¹ мы рассмотрели основные алгебраические понятия и правила сложения. В настоящей статье продолжим разбор алгебраических действий.

Вычитание

Чтобы вычесть один одночлен из другого, пишут первый после второго, разделяя их знаком — (минус). Полученный двучлен и есть искомая разность.

Пример: из А нужно вычесть В; разность равна А — В. Остановимся несколько подробнее на вычитании отрицательных величин. В алгебре принято рассматривать все члены — как положительные, так и отрицательные — какого-нибудь многочлена, как слагаемые. Например, двучлен A — В, представляющий собою разность, рассматривается, как сумма от сложения A и (—В). Принято также считать, что вычитание отрицательной величины равносильно прибавлению этой же величины, но взятой со знаком плюс, т.-е.

Разность А — В может быть положительной и отрицательной — все зависит от числовых значений А и В. Если по абсолютной величине А > В (А больше В) (напр., А = 8, В = 5), то разность положительна; если же А < В (А меньше В), то разность отрицательна.

Указанное выше правило отрицательных величин позволяет установить общее правило вычитания: чтобы вычесть многочлен из какой-нибудь величины Р (эта величина может быть также многочленом), следует вычесть последовательно все его члены, независимо от знаков последних.

Пример:

Можно иначе формулировать это правило. Чтобы вычесть многочлен из какой-нибудь величины, нужно этот многочлен с этой величиной сложить, при чем все члены многочлена нужно взять с обратными знаками.

Правило приведения подобных членов, указанное нами при разборе правил сложения, остается в силе и в данном случае.

Умножение

В нормальных курсах алгебры существует большое количество правил умножения. Мы в наших статьях не имеем возможности останавливаться на всех правилах, приведем только те из них, которые нужны радиолюбителям при пользовании расчетными формулами.

В умножении алгебраических величин могут иметь место три случая: 1) умножение одночлена на одночлен, 2) умножение многочлена на одночлен (и обратно) и 3) умножение многочлена на многочлен.

Чтобы умножить один одночлен на другой, нужно написать подряд все буквы обоих одночленов и поставить перед ними коэффициент, равный произведению коэффициентов обоих одночленов; одинаковые буквы, встречающиеся в обоих одночленах, пишутся с показателем, равным сумме показателей обоих букв. Например:

Так как произведение двух одночленов является одночленом, то приведенное правило можно расширить и на случай умножения нескольких одночленов.

Прежде чем перейти к умножению многочленов, рассмотрим правило, принятое в алгебре для умножения отрицательных величин.

Произведение отрицательной величины на положительную дает отрицательную величину; произведение двух отрицательных величин будет величиной положительной.

Чтобы умножить многочлен на одночлен, нужно умножить каждый член многочлена на одночлен и составить сумму из полученных произведений.

Для умножения многочлена на многочлен нужно каждый член множимого умножить на каждый член множителя и из полученных произведений составить

или другой пример:

Употребление скобок

В рассмотренных выше примерах радиолюбитель уже познакомился с употреблением скобок, которые в приведенных случаях показывали порядок (последовательность) производимых действий. Однако, практически скобки при расчетах приходится употреблять главным образом для уменьшения счетных операций. Например, если мы имеем многочлен, приведенный в правой части последнего примера умножения, и требуется определить его числовую величину при определенных значениях букв, входящих в многочлен, то проще и скорее производить вычисления в том случае, когда многочлен приведен к виду левой части равенства. Действительно, при непосредственном вычислении нужно произвести 7 операций (шесть умножений и одно сложение), в то время как при преобразовании многочлена в левую часть равенства приходится произвести всего лишь три операции (два сложения и одно умножение).

Задача III

Имеется цепь, составленная из трех последовательно соединенных сопротивлений R₁, R₂ и R₃ (рис. 1). Требуется определить расход мощности в цепи и падение напряжения на зажимах а—б, если по цепи протекает ток силою в i ампер.

Рис. 1

Расход мощности в каком-либо сопротивлении равен произведению сопротивления на квадрат силы тока, т.-е. Р = RI². Так как через все сопротивления нашей цели проходит ток одинаковой силы, то расход мощности определится как:

Падение напряжения на зажимах сопротивления равно произведению проходящего через сопротивление тока на величину сопротивления. Падение напряжения на зажимах а—б будет равно сумме падений напряжений на каждом сопротивлении, т.-е.

Пусть R₁ = 2 ома, R₂ = 4 ома и R₃ = 5 ом; сила тока i = 3 ампера. Тогда

Так как мощность может быть также определена, как произведение напряжения на силу тока, то мы, определив напряжение на зажимах а—б, можем произвести проверку нашего расчета расхода мощности в цепи.

Задача IV

Определить коэффициент самоиндукции катушки (рис. 2), размеры которой следующие: D = 4 см, l = 5 см, число витков n = 25.

Рис. 2

Формула для определения коэффициента самоиндукции однослойной² катушки имеет вид:

где k — поправочный коэффициент, зависящий от отношения L/D и определяемый по графикам или таблицам, приводимым во всех радиосправочниках. n₁ — число витков на 1 см длины катушки. Для нашего случая k = 0,7, n₁ = n/l = 25/5 = 5.

Следовательно, коэффициент самоиндукции нашей катушки равен:

Ниже приводим часть таблицы некоторых чисел, с которыми придется иметь дело при расчетах. Для читателя пока представят интерес первые три столбца таблицы; значение других столбцов мы об'ясним в дальнейших статьях.

Таблица будет печататься из номера в номер т. ч., к концу нашего цикла статей читатель получит законченную справочную таблицу.

ТАБЛИЦА³
Квадраты, кубы, корни квадратные и кубичные, десятичные логарифмы, обратные величины для чисел от 1 до 500.

n	n2	n3	√  n	3√  n	1   n	log n	n	n2	n3	√  n	3√  n	1   n	log n
0	0	0	0,0000	0,0000	∞	—∞	51	2601	132651	7,1414	3,7084	0,01961	1,7076
1	1	1	1,0000	1,0000	1,00000	0,0000	52	2704	140608	7,2111	3,7325	0,01923	1,7160
2	4	8	1,4142	1,2599	0,50000	0,3010	53	2809	148877	7,2801	3,7563	0,01887	1,7243
3	9	27	1,7321	1,4422	0,33333	0,4771	54	2916	157464	7,3485	3,7798	0,01852	1,7324
4	16	64	2,0000	1,5874	0,25000	0,6021	55	3025	166375	7,4162	3,8030	0,01818	1,7404
5	25	125	2,2361	1,7100	0,20000	0,6990	56	3136	175616	7,4833	3,8259	0,01786	1,7482
6	36	216	2,4495	1,8171	0,16667	0,7782	57	3249	185193	7,5498	3,8485	0,01754	1,7559
7	49	343	2,6458	1,9129	0,14286	0,8451	58	3364	195112	7,6158	3,8709	0,01724	1,7634
8	64	512	2,8284	2,0000	0,12500	0,9031	59	3481	205379	7,6811	3,8930	0,01695	1,7709
9	81	729	3,0000	2,0801	0,11111	0,9542	60	3600	216000	7,7460	3,9149	0,01667	1,7782
10	100	1000	3,1623	2,1544	0,10000	1,0000	61	3721	226981	7,8102	3,9365	0,01639	1,7853
11	121	1331	3,3166	2,2240	0,09091	1,0414	62	3844	238328	7,8740	3,9579	0,01613	1,7924
12	144	1728	3,4641	2,2894	0,08333	1,0792	63	3969	250047	7,9373	3,9791	0,01587	1,7993
13	169	2197	3,6056	2,3513	0,07692	1,1139	64	4096	262144	8,0000	4,0000	0,01563	1,8062
14	196	2744	3,7417	2,4101	0,07143	1,1461	65	4225	274625	8,0623	4,0207	0,01538	1,8129
15	225	3375	3,8730	2,4662	0,06667	1,1761	66	4356	287496	8,1240	4,0412	0,01515	1,8195
16	256	4096	4,0000	2,5198	0,06250	1,2041	67	4489	300763	8,1854	4,0615	0,01493	1,8261
17	289	4913	4,1231	2,5713	0,05882	1,2304	68	4624	314432	8,2462	4,0817	0,01471	1,8325
18	324	5832	4,2426	2,6207	0,05556	1,2553	69	4761	328509	8,3066	4,1016	0,01449	1,8388
19	361	6859	4,3589	2,6684	0,05263	1,2788	70	4900	343000	8,3666	4,1213	0,01429	1,8451
20	400	8000	4,4721	2,7144	0,05000	1,3010	71	5041	357911	8,4261	4,1408	0,01408	1,8513
21	441	9261	4,5826	2,7589	0,04762	1,3222	72	5184	373248	8,4853	4,1602	0,01389	1,8573
22	484	10648	4,6904	2,8020	0,04545	1,3424	73	5329	389017	8,5440	4,1793	0,01370	1,8633
23	529	12167	4,7958	2,8439	0,04348	1,3617	74	5476	405224	8,6023	4,1983	0,01351	1,8692
24	576	13824	4,8990	2,8845	0,04167	1,3802	75	5625	421875	8,6603	4,2172	0,01333	1,8751
25	625	15625	5,0000	2,9240	0,04000	1,3979	76	5776	438976	8,7178	4,2358	0,01316	1,8808
26	676	17576	5,0990	2,9625	0,03846	1,4150	77	5929	456533	8,7750	4,2543	0,01299	1,8865
27	729	19683	5,1962	3,0000	0,03704	1,4314	78	6084	474552	8,8318	4,2727	0,01282	1,8921
28	784	21952	5,2915	3,0366	0,03571	1,4472	79	6241	493039	8,8882	4,2908	0,01266	1,8976
29	841	24389	5,3852	3,0723	0,03448	1,4624	80	6400	512000	8,9443	4,3089	0,01250	1,9031
30	900	27000	5,4772	3,1072	0,03333	1,4771	81	6561	531441	9,0000	4,3267	0,01235	1,9085
31	961	29791	5,5678	3,1414	0,03226	1,4914	82	6724	551368	9,0554	4,3445	0,01220	1,9138
32	1024	32768	5,6569	3,1748	0,03125	1,5051	83	6889	571787	9,1104	4,3621	0,01205	1,9191
33	1089	35937	5,7446	3,2075	0,03030	1,5185	84	7056	592704	9,1652	4,3795	0,01190	1,9243
34	1156	39304	5,8310	3,2396	0,02941	1,5315	85	7225	614125	9,2195	4,3968	0,01176	1,9294
35	1225	42875	5,9161	3,2711	0,02857	1,5441	86	7396	636056	9,2736	4,4140	0,01163	1,9345
36	1296	46656	6,0000	3,3019	0,02778	1,5563	87	7569	658503	9,3274	4,4310	0,01149	1,9395
37	1369	50653	6,0828	3,3322	0,02703	1,5682	88	7744	681472	9,3808	4,4480	0,01136	1,9445
38	1444	54872	6,1644	3,3620	0,02632	1,5798	89	7921	704969	9,4340	4,4647	0,01124	1,9494
39	1521	59319	6,2450	3,3912	0,02564	1,5911	90	8100	729000	9,4868	4,4814	0,01111	1,9542
40	1600	64000	6,3246	3,4200	0,02500	1,6021	91	8281	753571	9,5394	4,4979	0,01099	1,9590
41	1681	68921	6,4031	3,4482	0,02439	1,6128	92	8464	778688	9,5917	4,5144	0,01087	1,9638
42	1764	74088	6,4807	3,4760	0,02381	1,6232	93	8649	804357	9,6437	4,5307	0,01075	1,9685
43	1849	79507	6,5574	3,5034	0,02326	1,6335	94	8836	830584	9,6954	4,5468	0,01064	1,9731
44	1936	85184	6,6332	3,5303	0,02273	1,6435	95	9025	857375	9,7468	4,5629	0,01053	1,9777
45	2025	91125	6,7082	3,5569	0,02222	1,6532	96	9216	884736	9,7980	4,5789	0,01042	1,9823
46	2116	97336	6,7823	3,5830	0,02174	1,6628	97	9409	912673	9,8489	4,5947	0,01031	1,9868
47	2209	103823	6,8557	3,6088	0,02128	1,6721	98	9604	941192	9,8995	4,6104	0,01020	1,9912
48	2304	110592	6,9282	3,6342	0,02083	1,6812	99	9801	970299	9,9499	4,6261	0,01010	1,9956
49	2401	117649	7,0000	3,6593	0,02041	1,6902	100	10000	1000000	10,0000	4,6416	0,01000	2,0000
50	2500	125000	7,0711	3,6840	0,02000	1,6990