При расчетах часто приходится перемножать одинаковые числа и буквенные выражения, например: 2 · 2 · 2; а · а и т. д. Для того, чтобы удобнее было производить запись таких выражений и совершать с ними действия, для них придумано особое обозначение. Например вместо того, чтобы писать 2 · 2 · 2, пишут 23, причем стоящее сверху направо число (в нашем случае 3) обозначает, сколько двоек перемножаются. Если перемножаются 4 двойки, т. е. берется произведение 2 · 2 · 2 · 2, то его обозначают так: 24. Число, указывающее, сколько чисел перемножаются, называется показателем степени, а число, которое перемножается, — основанием степени. В нашем последнем примере 4 есть показатель степени, а 2 — основание степени. Само же действие называется возведением в степень. Если мы встречаем такое выражение: 32, то это значит, что 3 множится на 3, т. е. в умножении участвуют две тройки 3 · 3 = 32 = 9.
| 43 | = | 4 · 4 · 4 | = | 64 |
| a2 | = | a · a | ||
| b3 | = | b · b · b |
Таким образом показатель степени указывает, сколько чисел или буквенных выражений перемножаются. Читаются эти выражения так, например: 23 — два в третьей степени; а2 — а во второй степени и т. п. Если всего в умножении участвует n раз выражение а, то пишется аn, а читается а в n-ой степени.
Вторая степень называется — «квадратом».
Третья степень называется — «кубом».
Таким образом,
| а2 — это а «в квадрате», |
| и а3 — это а «в кубе». |
Если числовое или буквенное выражение не имеет показателя степени, то подразумевается показатель степени 1, т. е. а и а1, 2 — 21, и т. д. — это одно и то же.
Очень часто при вычислениях приходится иметь дело с числами, выраженными единицей с многими нулями. Например: 100, 1 000, 10 000 и т. д. Вcе эти числа могут быть выражены сокращенно в виде той или другой степени числа 10; например 100 = 102; 10 000 = 104; 1 000 000 = 106 и т. д. Совершенно ясно, что взамен длинного числа 10 000 гораздо удобнее писать 104, взамен 1 000 000 — писать 106 и т. д.
Из приведенных примеров можно легко вывести правило: всякое число, выраженное единицей с нулями, равно 10 в степени, показатель которой равен числу нулей у данного числа.
| Например: | 10 000 000 | = | 107 |
| 1 000 | = | 103 |
Сложение и вычитание выражений, возведенных в какую-либо степень, производится по обычным правилам алгебры.
В случае сложения одно слагаемое приписывают к другому слагаемому с тем знаком, который оно имеет, и затем производится приведение подобных членов, если они есть. (Подобными членами являются члены, имеющие одинаковые основания и показатели степени).
Примеры:
1) сложить а2; b2 и —3с4 получим:
а2 + b2 — 3с4;
2) сложить а2; b7; 4а2 и —3b7;
а2 + b7 + 4а2 — 3b7 = 5a2 — 2b7;
3) Сложить 3 · 24; —24; 32
3 · 24 — 24 + 32 = 2 · 24 + 32 = 32 + 9 = 41
При вычитании вычитаемое приписывают к уменьшаемому с обратным знаком и затем делают приведение подобных членов.
Примеры.
1) из а7 вычесть b3
а7 — b3
2) из а7 вычесть —3а7
1) Для того, чтобы перемножить степени с одинаковыми основаниями, нужно сложить их показатели, напр. d3 · d4 = d7.
Для проверки этого правила разберем следующий пример. Нужно умножить 22 на 23. По вышеприведенному правилу следует 23 · 22 = 25. 25 равно 32; 23 равно 8, а 22 равно 4. 4 умноженное на 8 дает 32, следовательно наше правило подтверждается.
32 · 33 = 35 = 243
42 · (—4) = 42(—41) = —43 = 64
2) Для того, чтобы перемножить степени с одинаковыми показателями, нужно произведение оснований степеней возвести в ту же степень, т. е. а2 · в2= (а·в)2.
Проверим это на числовом примере:
Перемножим 22 на 32. По изложенному правилу 22·32 = (2·3)2 = 36. 22 = 4; 32 равно 9; 4, умноженное на 9, дает 36. Следовательно правило подтверждается. Приведем еще два примера:
32·42 = (3·4)2 = 144. —13 · —23 = (—1 · —2)3 = 8 и т. п.
3) При умножении выражений, не имеющих одинаковых оснований или показателей степени, их пишут одно за другим, ставя знак умножения.
а4 умножить на b3
а4·b3
32·23 = 9·8 = 72.
Б. Малиновский