1) Для того чтобы разделить степени с равными основаниями, надо из показателя делимого вычесть показатель делителя и оставить полученный показатель у прежнего основания, т.-е. а4 : а3 = а4—3 = а. Проверим это на числовом примере
24 : 22 = 22 = 4.
24 равно 16, 22 = 4. 16 деленное на 4 даст в результате частное 4.
35 : 33 = 32 = 9.
—411 : +410 = —4.
2) Для деления степеней с одинаковыми показателями надо разделить основание делимого на основание делителя и возвести полученное частное в ту же степень, т. е.
| a2 : b2 = ( | a | ) | 2 |
| b |
Сделаем проверку
| 42 : 22 = ( | 4 | ) | 2 | = 22 = 4 |
| 2 |
42 равно 16, 22 равно 4, 16 деленное на 4 даст нам в результате частное 4.
Правило подтверждается.
| 43 : 13 = ( | 4 | ) | 3 | = 43 = 64 |
| 1 |
| 62 : 32 = ( | 6 | ) | 2 | = 22 = 4 |
| 3 |
3) Для того чтобы разделить степени, не имеющие равных показателей или оснований, пишут их друг за другом, отделяя знаком деления или разделяя дробной чертой.
Например: a7 разделить на b3, можно написать или a7 : b3 или a7/b3.
24 разделить на 32:
| 24 : 32 = 16 : 9 = 1,8, или | 24 | = | 16 | = 1,8 |
| 32 | 9 |
Вышеизложенные правила дают возможность не производить сложных вычислений, а ограничиваться вычислениями более простыми. Например при решении задачи, в которой надо 5101 : 5100, мы имеем возможность не возводя 5 в сотую и сто первую степень, что заняло бы довольно много времени, прямо писать 5101—100 = 5.
Конечный результат получается довольно просто.
Для того чтобы возвысить в степень произведение, нужно возвысить в степень каждого из сомножителей и полученные результаты перемножить.
Требуется возвысить во вторую степень произведение a · b · c. Результат будет равен
(abc)2 = a2 · b2 · c2
Нужно возвысить в третью степень произведение 2 · 3 · 1
(2 · 3 · 1)3 = 23 · 33 · 13 = 8 · 27 · 1 = 216
Проверим правило, 2 · 3 · 1 = 6, 63 = 216.
Из этого примера видно, что правило подтверждается.
Для возвышения в степень степени нужно, оставив прежнее основание, перемножить показатели степеней (a2)3 = a6, (an)m = an · m.
Разберем числовой пример (22)3:
(22)3 = 26 = 64. 2 во второй степени равно 4, 4 в третьей степени равно 64.
Примеры:
1) (b3)n = 63n
Для возвышения в степень дроби нужно отдельно возвысить в ту же степень числителя и знаменателя и первый результат разделить на второй.
| ( | a | ) | 3 | = | a3 | ; | ( | c | ) | n | = | cn |
| b | b3 | d | dn |
4/2 равно 2. Два в квадрате равно 4.
Этим примером правило подтверждается.
| ( | c | ) | 3 | = | c3 | ; | ( | l | ) | n | = | ln |
| d | d3 | k | kn |
Для возвышения в степень десятичных дробей поступают по этому же правилу. Допустим, что нам надо возвести в квадрат дробь 0,5. Квадрат числителя равен 25, квадрат знаменателя 100. Следовательно, результат будет равен 25 сотым, т. е. 0,25.
Возвышение в степень чисел производится последовательным умножением. Для того чтобы возвести 2 в третью степень нужно 2 · 2 = 4, потом 4 · 2 = 8.
Но можно, раскладывая числа на произведение нескольких сомножителей, значительно облегчить действие.
Например надо возвести во вторую степень 40.
402 = (4 · 10)2 = 42 · 102 = 16 · 100 = 1600;
(900)2 = (9 · 100)2 = 92 · 1002 = 81 · 10000 = 810000;
122 = (3 · 4)2 = 32 · 42 = 9 · 16 = 144.
182 = (2 · 9)2 = 22 · 92 = 4 · 81 = 324.
При возвышении в степень положительного выражения полученный результат всегда будет положительным. В случае возвышении в степень отрицательного выражения знак определяется по следующему правилу:
Если отрицательное выражение возвышается в четную степень (во 2, 4, 6 и т. д.), то знак результата будет положительным. При возвышении в нечетную степень (в 3, 5, 7 и т. д.) знак результата будет отрицательный.
| (—3)2 | = | +9 | ; | (—a)2 | = | +a2 | |
| (—3)3 | = | —27 | ; | (—a)3 | = | —a3 | |
| (—3)4 | = | +81 | ; | (—a)4 | = | +a4 | |
| (—3)5 | = | —243 | ; | (—a)5 | = | —a5 | |
| (—3)6 | = | +729 | ; | (—a)6 | = | +a6 | и т. д. |
Из этих примеров видно, что четная степень отрицательной величины положительна, а нечетная степень отрицательной величины отрицательна.
Правило возвышения в степень одночлена может быть выведено из правил предыдущих параграфов. Правило это следующее. Для того чтобы возвысить одночлен в степень, нужно коэффициент его возвысить в эту степень, а показателя степени каждой буквы умножить на показателя степени.
(8a2b)2 = 64a4 · b2; (ck2b4)3 = c3k6b12;
Возвышение в степень многочлена производится последовательным перемножением.
Примеры:
(a + b)2 = (a + b) · (a + b);
(a + b)(a + b) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2;
(a — b)2 = (a — b) · (a — b);
(a — b) · (a — b) = a2 — ab — ab + b2 = a2 — 2ab + b2;
(a — b) · (a + b) = a2 — ab + ab + b2 = a2 — b2 и т. п.
Разработанным нами разложением квадратов:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2;
(a — b)2 = a2 — 2ab + b2 и
(a — b) · (a + b) = a2 — b2
довольно часто приходится пользоваться при вычислениях.
Б. Малиновский.