"Наука и Жизнь", №3, 1893 год, стр. 47

РѢШЕНIЕ ЗАДАЧИ 50.

Задача: Написать ариѳметическую прогрессiю, обладающую такимъ свойствомъ, что средне-ариѳметическая всякаго числа членовъ равна числу членовъ.

Решенiе: Пусть искомая прогрессiя

х  х+у  х+2у...

Средне-ариѳметическая n членовъ есть

½(2х + у(n — 1))

Отсюда уравненiе

2х + у(n — 1) = 2n,

или

2х + ny — у = 2n.   (а)

По условiю, это уравненiе не теряетъ смысла, если вмѣсто n членовъ взять n+k, гдѣ k > 0. Подставляемъ вмѣсто n n+k:

2х + (n + k)y — y = 2 (n + k),

откуда

2х = 2(n + k) — (n + k)у + у

Эту величину 2х подставимъ въ уравненiе (а)

2(n + k) — y(n + k) + y + ny — y = 2n.

Отсюда ky — 2k = 0; въ виду неравенства k съ нулемъ можемъ сказать, что у = 2.

Изъ уравненiя (а) х = 1.

Итакъ прогрессiя, обладающая заданнымъ свойствомъ, есть

1 3 5 7 9... 2n—1.

Максъ Фридманъ.

Вѣрныя рѣшенiя прислали: зад. 1-й Ив. Горбачевскiй (Кишиневъ) и А. Вальковскiй (С.-ПБ.).