инж. М. А. Нюренберг.
Радиолюбителям очень часто приходится производить в своей практике те или иные расчеты отдельных деталей и целых приборов. Предварительные расчеты радиоконструктора, ориентировочно определяющие величины приборов, быстрее ведут к цели, чем прямое экспериментирование «вслепую», и экономят много времени.
Многие радиолюбители, незнакомые с математикой или знакомые с ней очень мало, боятся заняться какими-либо расчетами, несмотря на то, что подчас эти «расчеты» не превышают трудностей простейших арифметических действий.
В настоящем цикле статей мы познакомим читателей с простейшими правилами алгебры и теми понятиями геометрии и тригонометрии, которые радиолюбителю приходится применять в своих расчетах. Из-за ограниченного объема статей мы не сможем давать доказательств и будем приводить только окончательные правила и результаты, а также примеры применения этих результатов на практике. Статьи рассчитаны на радиолюбителей, знакомых с арифметикой.
В арифметике все действия производятся с числами, заранее данными и полностью определяющими конечные, также числовые, результаты. В алгебре все рассуждения и действия производят над буквами; буквенными же получаются окончательные результаты. Так как вместо букв всегда можно подставить нужные числа, то система буквенных обозначений значительно обобщает решение каждой задачи.
Кроме букв, в алгебре употребляются знаки, показывающие, какие действия над буквами следует произвести. Знаки большей частью употребляются те же, что и в арифметике. Эти знаки следующие:
+ («плюс») — знак сложения, обозначает сумму двух величин: А + B. — («минус») — знак вычитания, обозначает разность двух величин: А — В. × — знак умножения. А × В. Вместо этого знака можно писать точку: А · В или, просто, друг за другом множимое и множитель АВ. При числовых значениях знак × писать необходимо, так как отсутствие этого знака вместо умножения, напр. 6 × 7, будет показывать двухзначное число 67. : — знак деления: обозначает частное от деления двух величин: А : В. Вместо двоеточия для обозначения деления очень часто употребляют горизонтальную черту:
| A |
| B |
При равных сомножителях вместо написания всех множителей пишут только один, а под ним с правой стороны сверху ставят цифру, показывающую число множителей, т. е. вместо а × а пишут а2. Если множителей m, а один множитель а, то пишут аm. Читается это так: a во второй степени, a в степени m. Величина, показывающая число множителей, называется показателем степени.
√ — обозначает квадратный корень. Корень m-й степени обозначается m√ . Например, квадратный корень из А будет обозначаться √A, корень третьей степени — 3√A.
= — знак равенства: А = В (А равно В).
> — знак неравенства. Своей острой частью показывает меньшую величину. Например А > В (А больше B), М < N (М меньше N).
≠ также знак неравенства. А ≠ В (А не равно В).
( ), [ ] — скобки. Показывают последовательность действий. Например (А + В)(М — N) — показывает, что сначала А складывается с В, а из М вычитается N, и лишь потом оба полученных результата перемножаются. Выражения, показывающие, какие действия необходимо выполнить для решения данного вопроса, называются формулами. Например:
| X = | (M + N)√A |
| B · C |
Алгебраическим выражением называется совокупность букв и чисел, соединенных между собою знаками действия. Алгебраические выражения, в которые не входят сложение или вычитание, называются одночленами: AB√C. Несколько одночленов, соединенные знаками + или —, составляют многочлен:
Каждый из одночленов, входящих в многочлен, называется членом многочлена. Если перед членом не стоит никакого знака, то под этим подразумевается, что перед ним стоит +. Члены со знаками + называются положительными, а со знаком — отрицательными.
Сложение.
Простейшими алгебраическими действиями являются сложение и вычитание. Чтобы сложить одночлены, их пишут друг за другом, отделяя знаком +.
Пример: Нужно сложить АВ, М, —N и С. Сумма равна:
Член +(—N) пишется просто —N, и тогда сумма получает вид
Если среди слагаемых одночленов встречаются подобные одночлены, т. е. такие одночлены, которые составлены из одних и тех же букв и с одними и теми же показателями, то такие подобные одночлены можно привести к одному, поставив перед ним число, показывающее количество подобных членов; это число называется коэффициентом.
Пример: АB + М + М — N + М = АВ + 3М — N
Если подобные члены входят с разными знаками, то коэффициент берется равным алгебраической сумме коэффициентов при подобных членах.
Пример: АВ + 3М — М — N + 2M = АВ + 4М — N.
От перемены порядка слагаемых сумма не изменяется:
А + B + М + N = М + А + N + B.
Чтобы сложить два многочлена, следует прибавить к первому все члены второго, сохраняя их знаки.
Пример: (A + B — М) — (С — D + N) = А + В — М + С — D + N.
Есть еще ряд правил, вытекающих из приведенных правил и примеров. Мы на них, чтобы не загромождать изложения, останавливаться не будем. Они будут ясны из дальнейшего и из тех примеров, которые мы приведем ниже.
Сейчас же решим две задачи, показывающие практическое применение рассмотренных правил сложения.
Задача 1. На рис. 1 показана электрическая цепь, состоящая из ряда сопротивлений. Требуется определить полное сопротивление этой цепи.
В общем виде полное сопротивление определяется как
Если подставить численные величины отдельных сопротивлений, то получим величину полного сопротивления цепи. Если R1 = 20 ом, R2 = 25 ом, R3 = 30 ом и R4 = 40 ом, то полное сопротивление:
Задача II. Даны две конденсаторные батареи, соединенные в параллель. Каждая из батарей состоит из нескольких параллельно соединенных конденсаторов емкостью С1, С2 и С3 (рис. 2). Требуется определить полную емкость двух батарей, считая
Зная, что емкость батареи параллельно соединенных конденсаторов равна сумме емкостей отдельных конденсаторов, получим:
Емкость первой батареи:
Емкость второй батареи:
Полная емкость двух батарей:
Подставляя значение отдельных емкостей, получаем: