"Радио Всем", №7, март, 1930 год, стр. 174-175

Математика радиолюбителя

От редакции

Вряд ли нужно объяснять нашим читателям, что каждый грамотный радиолюбитель должен владеть основными математическими методами. Все те, даже простейшие, расчеты, которые приходится выполнять почти каждому радиолюбителю, требуют некоторых математических познаний. Для того, чтобы познакомить читателей с основными математическими расчетами, мы начинаем в журнале цикл статей — «Математика радиолюбителя».

Положительные и отрицательные величины

Понятия об отрицательных числах

Предположим, что, смотря на термометр (рис. 1), мы видим температуру в 10° тепла. Взглянув на градусник на другой день, мы заметили, что он стал показывать 20° тепла. Если нас заинтересует разница между показаниями термометра, то надо вычесть из одной температуры другую: 20° — 10° = 10°.

Рис. 1.

Мы из большего показания вычли меньшее и получили нужный нам результат.

Точно так же мы можем получить разность температуры в случае, если один раз будет 30°, а другой 20° мороза: 30° — 20° = 10°. Все сделанные выкладки мы можем проверить, отсчитывая на сколько делений поднялся или опустился столбик ртути в термометре. Теперь выясним, какое колебание температуры произошло, если в один день было 10° мороза, а на другой 5° тепла. Если бы мы просто произвели вычитание, то получили бы 10° — 5° = 5°. Между тем, делая проверку по термометру, мы видим, что ртуть поднялась на 15 делений, а не на 5.

Значит, вычитание из одного показания другого применимо только в тех случаях, когда дело идет о разнице между двумя показаниями одного порядка, т. е. когда оба показания относятся к теплу или холоду.

Если термометр показывает 0° (см. рис. 1), а потом стал показывать 10° тепла, то это значит, что ртуть поднялась на 10 делений вверх. Если же термометр от нуля стал показывать 10° холода, или как иначе говорят «минус 10°», то это значит, что ртуть опустилась на 10 делений вниз.

Таким образом, если говорить, что температура от нуля изменилась на 10°, то для ориентировки этого мало, надо знать, как она изменилась, вверх от нуля на +10° или вниз от нуля на —10°. Температура в одну сторону — вверх от нуля — считается положительной, а вниз — отрицательной. Таким образом видно, что сама жизнь выдвигает необходимость в обозначении числа + (плюсом) или — (минусом), т. е. в положительных и отрицательных числах. Видя обозначение —20°, мы знаем, что эта температура ниже нуля. Такое показание называется отрицательной температурой.

Отрицательным называется всякое числовое или буквенное выражение, перед которым стоит знак —: —10; —20; —81.

Перед положительным числом знака + обыкновенно не пишут.

Не всегда бывает нужно знать, с положительным или отрицательным числом мы имеем дело. Иногда бывает важна величина без знака числового или буквенного выражения. Числовая величина, взятая без всякого знака, называется абсолютной величиной; абсолютная величина —3 будет 3, абсолютная величина —40 будет 40 и т. д. Счет чисел ведется от нуля. Всякое положительное число считается больше нуля. Всякое отрицательное число — меньше нуля и меньше любого положительного. И чем больше по абсолютной величине отрицательное число, тем оно является на самом деле меньшим. Например, температуру —20° мы считаем ниже, чем —10°. Температуру в —1° или 0° мы будем считать выше, чем температура —10°. Следовательно, —20 меньше —10, а —10 меньше —1, —1 в свою очередь меньше 0.

Числовой ряд. Всякое число может быть представлено в виде отрезка какой-то определенной длины (рис. 2), причем длина отрезка зависит от величины числа и от выбранного масштаба.

Условимся, что единица длины будет равна одному сантиметру. Тогда 1 будет равна одному сантиметру, три — трем сантиметрам и т. д. Взяв прямую, будем наносить на ней числа в виде отрезков.

Рис. 2.

Счет начинается от 0. По правую сторону от нуля откладываем положительные числа, а влево отрицательные, сохраняя единицу масштаба 1 = 1 см.

Таким образом —3 будет иметь ту же самую величину, что и +3, но направление этой величины относительно исходной нулевой точки будет обратное, +3 откладывается вправо, а —3 влево.

В арифметике мы пользуемся только правой частью ряда чисел, числами положительными. В алгебре же мы будем пользоваться обеими частями числового ряда — и положительными и отрицательными числами.

Числовой ряд может быть продолжен в обе стороны до бесконечности. Ниже будут изложены правила действия с отрицательными и положительными числами.

Правила действий

Действия с отрицательными числами или с отрицательными и положительными производятся по следующим правилам.

Сложение. Величины, которые мы складываем, называются слагаемыми, полученный результат называется суммой.

Необходимо рассмотреть 2 случая:

1) У слагаемых величин знаки одинаковые. В этом случае складываются их абсолютные величины и ставится их общий знак:

2) У слагаемых величин знаки разные. Тогда берется разность абсолютных величин и ставится знак большей:

Вычитание. Та величина, из которой производится вычитание, называется уменьшаемым; величина, которую вычитают, называется вычитаемым, полученный результат носит название разности.

Здесь также нужно различать 2 случая:

1) У вычитаемого и уменьшаемого знаки одинаковые и уменьшаемое больше вычитаемого. В этом случае из большого абсолютного значения (уменьшаемого) вычитается меньшее (вычитаемое), и перед полученным результатом ставят общий знак. Например:

В том же случае, когда уменьшаемое по абсолютной величине меньше вычитаемого, ставят знак, обратный тому знаку, который имело уменьшаемое.

2) У вычитаемого и уменьшаемого знаки разные. В этом случае складывают их абсолютные величины и перед разностью ставят знак уменьшаемого.

Таким образом в алгебре можно вычесть большее из меньшего.

При этом, конечно, всегда получается отрицательный результат.

Умножение. Перемножаемые величины носят название сомножителей, результат действия называется произведением.

Если у сомножителей знаки одинаковые, то произведение имеет знак +. Если знаки разные, произведение имеет знак —. Например:

Деление. Величина, которая делится, называется делимым, та величина, на которую делят — называется делителем, результат деления называется частным.

При разных знаках у делимого и делителя частное имеет знак минус. При одинаковых знаках частное имеет знак плюс. Например:

Б. Малиновский