Действие, называемое извлечением корня, имеет задачей разложение величин на одинаковые сомножители. Например число 25 может быть разложено на два одинаковых сомножителя (5 · 5 = 25). Обозначается это действие следующим образом
2√25 = 5
Знак √ является знаком извлечения корня. Число, стоящее под знаком корня, в нашем случае 25, называется подкоренным количеством. Число 2, стоящее над знаком корня, называется показателем корня и показывает, на сколько одинаковых сомножителей должно быть разложено подкоренное количество. Вышеприведенная формула говорит, что 25 должно быть разложено на 2, как показывает показатель корня, одинаковых сомножителя. Искомым числом для нашего случая является 5, так как 5, умноженное на 5, равно 25. Величина, полученная в результате извлечения корня (в нашем примере 5), носит название корня.
Если мы встречаем такое выражение 3√27, то это значит, что надо найти три одинаковых сомножителя, которые в результате переумножения дадут нам 27. Корень будет равен 3, так как 3 · 3 · 3 = 27.
2√16 = 4, так как 4 · 4 = 16
3√a³ = a, так как a · a · a = a3
16 и а3 будут подкоренные числа
2 и 3 » показатели корня
4 и а » корня.
Читаются эти выражения так: извлечь корень второй степени из 16. Извлечь корень третьей степени из а3.
Корень второй степени называется квадратным корнем, а корень третьей степени — кубическим.
Второй пример можно прочесть так. Извлечь кубический корень из а3. При извлечении корня второй степени показатель корня не пишется. Например: вместо того, чтобы писать 2√4 = 2 пишут √4 = 2.
Из сказанного следует, что корнем какой-либо степени n из данного числа a называется такое число, которое, будучи взято сомножителем n раз (возведено в n-ю степень), даст нам число a.
Далеко не всегда корень может быть выражен целым числом. Например √10 будет больше 3, но меньше 4, так как 3 · 3 = 9, что составляет меньше 10, а 4 · 4 = 16, что составляет больше 10.
Точно так же трудно сразу сделать извлечение корня из какого-либо большого числа. Например √1 393. О том, как поступать при извлечении таких корней, будет сказано ниже.
На основании вышеизложенного можно решить следующую задачу: пластинка конденсатора имеет форму квадрата, площадь ее равна 4 квадратным сантиметрам. Требуется найти величину ее сторон. Так как известно, что пластинка имеет форму квадрата, то значит ее стороны равны между собой. Площадь квадрата равна квадрату его стороны. Предположим, что сторона квадрата равна а, тогда площадь его равна а · а = а2, т. е. данная нам площадь есть квадрат искомой стороны квадрата. Для того чтобы найти эту сторону, нужно извлечь квадратный корень из данной площади. Следовательно сторона квадрата
Сложение и вычитание корней производится по обычным правилам алгебры. Если корни нужно сложить, то их пишут друг за другом c теми знаками, которые они имеют, и затем делают приведение подобных членов, если они есть.
При вычитании вычитаемое приписывают к уменьшаемому с обратным знаком и также делают приведение подобных членов (подобными будут корни одинаковых степеней с одинаковыми подкоренными величинами).
Примеры:
1) Сложить √a, —5√a, +n√c,
√a — 5√a + n√c = —4√a + n√c;
2) из 8m√e — 4√m вычесть +3√m.
Получим:
8m√e — 4√m — 3√m = 8m√e — 7√m и т. д.
При сложении и вычитании корней их, конечно, нельзя соединять под одним подкоренным знаком. (Так же, как нельзя соединять при возведении в степень.)
Пример: √4 + √7 не равняется √4 + 7;
3√a — 3√b не равняется 3√a — b и т. д.
При умножении и делении корней применяются обычные правила алгебры, изложенные выше.
Б. Малиновский