Все числа при извлечении квадратного корня можно разделить на две части. В одну часть войдут числа, корень которых может быть выражен целым числом, например: √4 = 2; √9 = 3 и т. д. В другую часть войдут числа, корень которых целым числом выражен быть не^ может.
Например: √5; √8.
Те числа, квадратный корень которых может быть выражен целым числом, носят название полных квадратов. Полными квадратами будут следующие числа:
| 1 | т. к. | √1 = 1 | 49 | » » | √49 = 7 |
| 4 | » » | √4 = 2 | 64 | » » | √64 = 8 |
| 9 | » » | √9 = 3 | 81 | » » | √81 = 9 |
| 16 | » » | √16 = 4 | 100 | » » | √100 = 10 |
| 25 | » » | √25 = 5 | и т. д. | ||
| 36 | т. к. | √36 = 6 | |||
В первую очередь разберем извлечение квадратного корня из полных квадратов, а потом познакомимся с приближенным извлечением квадратного корня из чисел, не являющихся полными квадратами.
Если число содержится между 1 и 100, то корень его может быть легко найден по предыдущей таблице, например: √36 = 6; √9 = 3 и т. д. Пользование таблицами при извлечении корней будет разобрано нами отдельно.
Извлечение корня из чисел с большим числом знаков производится следующим образом.
Допустим, мы хотим извлечь квадратный корень нз числа 529. Для этого число делится на группы по 2 цифры, справа налево:
| √ | 5' | 2 | 9 | = 23 | |
| — | 4 | ||||
| 43 | 1 | 2' | 9 | ||
| 3 | — | 1 | 2 | 9 | |
| 0 |
Группы отделяются друг от друга запятой стоящей сверху. Затем извлекается квадратный корень из I группы слева, т. е. в нашем случае из 5. Корень из пяти целым числом выражен быть не может. В таком случае извлекают корень из ближайшего меньшего полного квадрата. Ближайшим меньшим полным квадратом будет 4; √4 = 2. Это и будет первая цифра нашего корня. Полученный результат записываем справа после знака равенства. После этого возводят полученную первую цифру корня в квадрат, 22 = 4, и вычитают этот квадрат (4) из начальной группы (5). К полученному остатку, в нашем случае 1, сносят следующую группу. Для отыскания следующей цифры корня удваивают имеющуюся величину корня (для нашего случая 2) и записывают эту удвоенную величину (для разобранного случая 4) налево от полученного остатка.
Для получения следующей цифры корня отделяют от остатка десятки и делят их число (в нашем случае 12) на удвоенную величину первого квадрата (для этого случая 4). Полученное от деления число 3 приписывают справа к удвоенной найденной величине корня, 4, и умножают полученное число 43 на приписанную к 4 при получении этого числа цифру 3. Если полученное произведение, 43·3 будет равно величине остатка, 129, то это значит, что найденная цифра 3, будет являться следующей цифрой корня. Если же полученное произведение будет больше остатка, то нужно испытать следующее меньшее число, — для нашего случая надо было бы вместо 3 взять 2 и следовательно 42 умножить на 2.
Так следует поступать до тех пор, пока одна из цифр не подойдет. Ниже мы приводим несколько примеров извлечения корня:
√ 2' 2 5 = 15 1 1 2' 5 25 26 (1 5 6) — много 5 6 1 2 5 0
√ 3' 7 2' 4 9 = 193 — 1 29 2 7' 2 9 — 2 6 1 383 1 1' 4 9 3 — 1 1' 4 9 0
√ 1' 4 4' 0 0 = 120 1 22 4' 4 2 4 4 0
Величина корня из неполного квадрата может быть найдена лишь приближенно с какой либо степенью точности, например с точностью до 1, до 0,1, до 0,01 до 0,001 и т. д. Для того, чтобы найти величину квадратного корня из неполного квадрата с нужной точностью, поступают по следующему правилу. Умножают данное число на квадрат знаменателя дроби, выражающей эту точность, и из полученного числа извлекают квадратный корень. Найденный квадратный корень надо разделить на знаменателя дроби выражающей данную точность. Полученный результат даст нам приближенное значение квадратного корня данного числа с нужной точностью.
Пример 1. Извлечь квадратный корень из 2 с точностью до 0,1.
Знаменатель дроби 0,1 равен 10. Квадрат его равен 100 (102 = 100). Умножаем 2 на квадрат знаменателя 2 · 100 = 200. Извлекаем из 200 квадратный корень по общему правилу.
√ 2' 0 0 = 14 1 24 25 1 0' 0 4 5 (1 2 5) — много 9 6 4 — остаток
Корень равен 14, а в остатке осталось 4. Выбранная нами вторая цифра корня 4 дает нам значение корня с недостатком, а если бы мы взяли второй цифрой 5, то получили бы значение корня с избытком.
Практически пользуются тем значением корня, которое даст меньшую разницу между произведением, и оставшимся числом. В нашем случае 100 и 96 отличаются по величине только на 4, тогда как 125 и 100 отличаются по величине на 25.
Полученный корень нужно разделить на знаменателя дроби, которая определяла выбранную нами степень точности.
14 : 10 = 1,4, следовательно √2 = 1,4, с точностью ДО 0,1.
Разберем еще два примера: извлечь √2 с точностью до 0,01; 2·1002 = 20 000
√ 2' 0 0' 0 0 = 141; √2 = 1,41 1 24 1 0' 0 5 9 6 282 281 4 0 0 2 1 2 8 1 (5 6 4) — много 1 1 9 — остаток
Б. Малиновский