23. Мостик Витстона (Уитстона).
Для измерения сопротивлений широко применяются на практике измерительные мостики. Из них основным и, вместе с тем, самым простым является мостик Уитстона, представленный на рис. 89. Питание мостика производится в точках А и В от источника тока, например, гальванического элемента или аккумулятора.
Если мы на одной ветви мостика возьмем, например, точку С, то и на другой ветви должна найтись точка, имеющая тот же потенциал. Пусть D будет такой точкой. В таком случае при соединении точек С и D проволокой ("мостиком"), по ней не будет протекать тока, так как оба ее конца обладают равными потенциалами и потому стрелка включенного в этот мостик гальванометра не даст отклонения. Благодаря гальванометру возможно отыскать эту точку D, если ветвь ADB представляет собою голую проволоку. Для этого нужно передвигать конец мостика вдоль проволоки ADB и наблюдать в то же время за уменьшениями отклонения стрелки гальванометра, приближаемся ли мы к искомой точке.
Если мы соединим две точки одинакового потенциала С и D между собою, то сила протекающего от точки А к точке С тока i1 должна быть равна силе вытекающего от точки С к точке В тока i2. Также и сила тока i3 между точками А и D должна равняться силе тока i4 — между точками D и В. А так как точки С и D обладают равными потенциалами, то и падение напряжения между точками А и С, а именно, e1, равно падению напряжения между точками А и D, обозначенному через e3. Равным образом и е2 = е4. Для тех обозначений, которые мы имеем на чертеже, можно написать:
Но i1 = i2 и i3 = i4; также e1 = e3 и е2 = е4.
Поэтому
Отсюда выводим уравнения
и, разделив эти уравнения одно на другое, получим:
или
Отсюда также следует:
то-есть, в мостике Витстона произведения противолежащих сопротивлений равны между собою.
Пропорция не нарушится, если мы переставим между собою ее крайние и средние члены. Не нарушится и последнее уравнение, если мы в произведениях переставим множители. Соответственно этому, мы можем также изменить устройство Витстонова мостика, присоединив гальваническую батарею к точкам С и D и перекинув мостик с гальванометром от точки A к точке В, как это и показано на рис. 90. Соответствующим подбором сопротивлений мы можем получить равенство потенциалов в точках А и В и тогда написать пропорцию
откуда
Если одно из этих сопротивлений неизвестно, то его из вышеприведенных уравнений легко определить. Так, например, для мостика, данного на рис. 89, определяя r1, как неизвестное, получим
На практике в качестве сопротивлений между узловыми точками мостика включаются магазины сопротивлений, наличие которых дает возможность, комбинируя величины сопротивлений в каждом из плеч мостика, подобрать такое их соотношение, при котором гальванометр не будет давать отклонения, что и требуется. При определении неизвестного сопротивления r1 (или х) можно облегчить себе подбор сопротивлений и последующее вычисление специальным подбором сопротивлений r3 и r4. Например:
Если возьмем r3 = r4, то r1 = r2.
Если r3 = 100 r4, то r1 = 100 r2.
Если r4 = 100 r3, то r1 = r2 / 100.
Ветви AD и DB, называемые балансными, обычно имеют магазины сопротивлений, дающими возможность получить соотношения 1 к 10, 1 к 100, 1 к 1000 или обратные соотношения (10 к 1 и т. д.).
В проволочных мостиках, впервые предложенных Кирхгофом (рис. 91), балансы r1 и r2 заменены одной полированной и калибрированной (имеющей строго одинаковое сечение) проволокой, натянутой вдоль масштаба или шкалы, так что отношение сопротивлений балансных плеч можно заменить отношением длин участков проволоки АС и СВ. Перемещая по проволоке АВ скользящий контакт С, можно получить какое угодно отношение балансов и при умело подобранном сопротивлении R достичь того, что тока в гальванометре G не будет. При этом отношение длин сопротивлений r1 и r2 дано готовым на той шкале, по которой натянута проволока АВ. Если это отношение равно а, то для рис. 91
Пример. Из сопротивлений четырех ветвей мостика Витстона (рис. 89) известны три сопротивления, а именно — r1 = 10, r2 = 100 и r3 12 омам. Определить неизвестное сопротивление четвертой ветви.
Так как
то
