Для решения, напр., неопределенного уравнения
в целых положительных и отрицательных числах пишем ряд следующих количеств, делящихся на 8:
| 1) | 13y + 63 | = 8x |
| 2) | 5y + 7 | |
| 3) | 3y — 7 | |
| 4) | 2y + 14 | |
| 5) | y — 21 | |
| 6) | y — 5 |
Первая строка — перенос члена с неизвестным x на правую сторону, при чем становится очевидным, что левая часть (13y + 63) должна делиться на 8.
Вторая строка — остаток от деления количества в первой строке на 8. Новое количество (5y + 7) также делится на 8.
Третья строка — дополнительное количество до 8y. Иначе говоря, сумма 2 и 3 строки составляет 8y. Отсюда следует, что новое количество (3y — 7) также делится на 8.
Четвертая строка — разность между 2-й и 3-й. Новое количество: (2y + 14) также делится на 8.
Пятая строка — разность между 3-й и 4-й и также делится на 8.
Шестая строка — остаток от деления 5-й строки на 8. Полученное новое количество (y — 5) должно делиться на 8, почему и можем написать: (y — 5) = 8t, где t целое число, положительное или отрицательное, или нуль. Отсюда общее решение для y:
Подставив это решение в общем виде в основное уравнение:
найдем для x следующее общее решение: x = 16 + 13t.
Решим уравнение: 9x + 16y = 13.
Пишем следующие строки:
| 1) | 16y — 13 | = —9x |
| 2) | 7y — 4 | |
| 3) | 2y + 4 | |
| 4) | y + 2 | = 9t |
Все эти строки делятся на 9. Первая — получается непосредственно из данного уравнения.
Вторая строка — остаток от деления первой строки на 9.
Третья — дополнительное количество до 9y, так что вместе со второй строкой она составляет в сумме 9y.
Четвертая строка получается по сокращении третьей на общего делителя 2, взаимно-простого с делителем 9. (При решении первого примера мы имели там в 4-й строке количество, делящееся на 2, именно (2y + 14), но использовать сокращение на 2 нельзя было в виду взаимной кратности 2-х с постоянным делителем 8). Полученное по сокращении новое количество: (y + 2) делится на 9, почему и можем написать: y + 2 = 9t.
Подставив общее решение для y, т. е.:
в основное уравнение, найдем для x:
Как видно из этих примеров, написание соответствующих строк, ведущих к решению неопределенного уравнения, не требует много времени, притом все строки делятся на одного и того же делителя.
Предлагаем читателям убедиться и на других при мерах, что указанный способ значительно короче обычного приема решения неопределенных уравнений.
Александр Родных.