В древности, а затем и позднее, в средние века, знание таблицы умножения представляло своего рода искусство. Для облегчения умножения пользовались таблицами, содержащими произведения однозначных чисел от 1 до 9, а впоследствии также и двузначных чисел в пределах первой сотни. Как на пример подобного рода таблиц можно указать на известную Пифагорову таблицу, применяемую до сих пор при обучении арифметике.
В l617 году шотландский математик Джон Непер (Jоhn Napier 1550-1617), которому мы обязаны введением в употребление логарифмов, существенно улучшил Пифагорову таблицу, устроив ее в виде передвижных палочек, что дало возможность быстрого умножения любого многозначного числа на однозначное. С точки зрения вполне механического производства действия умножения эти Неперовы палочки (Васill Nереriаni или virgulae пumеratrices) обладали некоторым недостатком, так как при работе с ними надо было все-же производить в уме сложение однозначных чисел в пределах первого десятка.
Этот недостаток совершенно устранен во множительных палочках (réglettes multiplicatrices) Лукаса и Женайля, при чем палочки являются только улучшением предложенного Непером способа механического умножения. Устройство и употребление этих палочек чрезвычайно просто и надо думать, что читателям журнала, интересующимся математикой, будет полезно с ними ознакомиться.
Каждая палочка имеет сверху головную цифру и поделена вдоль на девять не одинаковых по длине разделов. С правого края палочек идет ряд однозначных чисел, вдоль которого в каждом разделе различным образом расположены зачерненные треугольники. Кроме того имеется одна особая, начальная палочка без головной цифры. На этой палочке вместо треугольников написаны цифры от 1 до 9, отмечающие порядок каждого раздела, начиная сверху.
Рассмотрим теперь принцип, по которому расположены на палочках цифры и треугольники. Для этого возьмем какую-либо палочку, скажем, с головной цифрой 6.
Ряд цифр идущий с боку палочки, в каждом разделе имеет число цифр соответственно порядковому номеру этого раздела, при чем верхняя цифра каждого раздела представляет собою число единиц произведения, которое получается от умножения головной цифры палочки на порядковый номер раздела. Например, 6 × 7 = 42, поэтому седьмой раздел начинается цифрой 2, также 6 × 9 = 54, так что первая цифра девятого раздела будет 4.
Затем в каждом разделе, кроме первого, располагаются в количестве на единицу меньшем, чем порядковый номер соответствующего раздела, цифры, представляющие последовательные числа за числом, изображенным верхней цифрой раздела. В седьмом, например, разделе, первая цифра которого есть 2, следуют шесть таких чисел: 3, 4, 5, 6, 7, 8. Следует заметить, как общее правило, что при составлении такой последовательности числа после девятки каждый раз надо писать 0, 1, 2, 3 и т. д. вместо 10, 11, 12, 13 и т. д. На этом основании в 8-м разделе с первой цифрой 8 найдем следующий ряд цифр: 8, 9, 0, 1, 2, 3, 4, 5.
Цифры каждого раздела замыкаются слева вычерненным треугольным указателем, вершина которого опущена относительно первой цифры раздела на столько строк, сколько десятков в произведении головной цифры палочки на порядковый номер раздела. 6 × 7 = 42, поэтому в седьмом разделе вершина треугольника опущена на четыре строки книзу и указывает на пятую строку раздела. Всякий раз, когда среди цифр какого-либо раздела имеется 0, то в том же разделе начинается с него новый треугольник с вершиною, опущенной еще на одну строку ниже сравнительно с вершиной первого треугольника. Таким образом в девятом разделе мы найдем треугольник с вершиною, опущенной на 5 строк, который замыкает собою цифры 4, 5, 6, 7, 8, 9 и треугольник с вершиною на одну строку ниже, замыкающий цифры О, 1, 2.
Следует заметить, что начальная палочка (без головной цифры) имеет в разделах тот же порядок цифр, как и палочка с головной цифрой 0, но вместо треугольников содержит номера разделов.
Множительные палочки являются, в сущности, графической таблицей умножения. Приставив слева к любой палочке начальную палочку без головной цифры, мы можем получить все произведения головной цифры взятой нами палочки на числа, представляющие номер раздела. Единицы мы будем читать на палочке с головной цифрой, беря каждый раз верхнюю цифру раздела. Тогда число десятков укажется вершиною соответственного треугольника по цифрам на начальной палочке.
Разобрав принцип устройства палочек, рассмотрим теперь, каким образом производится умножение любого многозначного числа на однозначное. Положим, требуется умножить 3519 на 7. Подбираем палочки так, чтобы головные их цифры составили число 3519 и прикладываем слева начальную палочку. Тогда в седьмом разделе палочек, отмеченном цифрою 7 на начальной палочке, мы найдем искомое произведение следующим образом. Единицы произведения есть 3, верхняя цифра седьмого раздела на палочке с цифрой 9 (на рисунке указана стрелкой). Далее, следуя по направлениям, указываемым вершинами треугольников, получим десятки произведения — 3, сотни — 6, тысячи — 4 и десятки тысяч — 2, т. е. искомое произведение будет 24.633.
Произведение получается совершенно механически, надо только начинать с первой цифры соответственного раздела последней справа палочки и затем точно следовать по треугольным указателям вплоть до начальной палочки. Если в разделе окажется два треугольника, то, очевидно, пользуются тем, который замыкает цифру, указываемую вершиной треугольника предыдущей палочки.
Для умножения многозначного числа на многозначное получают последовательно частные произведения множимого на единицы каждого разряда множителя и затем полученные произведения складывают на счетах. Изготовив набор с двойным или тройным набором палочек и одной начальной палочкой, можно получить весьма удобное пособие для облегчения вычислительной работы. Во всяком случае палочки в достаточной степени заменяют об'емистые таблицы умножения, по которым непосредственно находят произведения чисел включительно до 100 × 1000 или даже до 1000 × 1000.
Для удобства читателей прилагаем двойной набор множительных палочек. Их следует наклеить на не слишком толстый картон и нарезать острым ножом на отдельные палочки. Затем можно наклеить на кусок картона соответствующих размеров слева начальную палочку, а сверху и снизу две полоски картона с расстоянием между ними, везде равным высоте палочек. Получается таким образом П-образное гнездо, в которое вкладываются палочки при работе с ними.
П. Радецкий.
