Будучи знаком с целым рядом книг, посвященных «занимательной математике», я обратил внимание, что во всех них (по крайней мере, во всех известных мне) в параграфе, посвященном числу 999, имеется недоговоренность; о ней-то мне и хотелось бы поговорить.
Во всех книгах это число приводится, как ответ на задачу: «Какое самое большое конечное число можно написать тремя цифрами?» Оно равняется, как оказывается: 999 = 9387420489.
Изобразить такое число не представляется никакой возможности, т. к. оно имеет 369693100, т.-е. не многим больше трети миллиарда, цифр. Чтобы написать его на бумажной ленте, предполагая, что каждая цифра займет 4 мм. в длину, понадобилась бы лента длиной в 1479 километров. Кроме того, если писать в каждую секунду по 2 цифры, работать круглые сутки — день и ночь, то на написание этого числа понадобится свыше 7 лет. Дать понятие о сверх-колоссальной величине такого числа крайне затруднительно. Наш талантливый популяризатор «веселого и занимательного в математике» Я. И. Перельман с этой целью приводит1) такое рассуждение. Он предполагает вселенную в виде громадной сферы с радиусом в один миллиард световых лет; эту вселенную он предполагает наполненной плотнейшим металлом — платиной и вычисляет количество электронов, т. е. мельчайшего, что мы только знаем, в этой вселенной. Оказывается, что это количество электронов выражается числом, имеющим всего 100 цифр. Сколько же понадобилось бы «платиновых» вселенных, чтобы вместить 999 электронов? Столько, сколько единиц в числе, состоящем, примерно, из 369693 цифр.
Эти-то краткие сведения о числе 999 мне и хотелось бы пополнить.
Как это ни странно, число 9(99) вовсе не есть наибольшее конечное число, которое можно написать тремя цифрами. Можно назвать число неизмеримо большее, чем 9(99), написанное тоже 3-мя цифрами; для этого нам нужно только употребить один алгебраический знак, что, мы, конечно, вполне можем сделать (то же делает, напр., и Я. И. Перельман, когда на вопрос: «Какое самое маленькое число можно написать 3-мя цифрами?», предлагает решение: 9(-99), и следовательно, употребляет знак минус). Я предлагаю употребить знак (!) и тогда наше число примет вид: 999!, т.-е. произведение всех последовательных целых чисел от 1 до 999.
Число 999 является лиллипутом перед этим, все же, конечным числом, изображенным только 3-мя цифрами.
В. Руденко. (Из письма читателя).
Восклицательный знак после числа (называемый в математике знаком факультета), означает произведение всего ряда последовательных чисел от 1 до этого числа. Например,
Как быстро возрастают числа, подвергаемые этой операции, наглядно видно хотя бы уже из следующего ряда:
Сокращенных приемов для вычисления таких произведений не существует. Только для весьма больших чисел найдена формула (так наз. формула Стирлинга), дающая возможность найти приближенный результат несколько короче. Обычно же приходится непосредственно выполнять все последовательные умножения. Например, для числа 30! надо умножить
чтобы получить огромный результат:
265 252 859 812 191 058 636 308 480 000 000.
Мысль воспользоваться знаком факультета (!) для изображения числа, еще большего, нежели 999, нельзя не признать вполне правильной и очень остроумной2). Она безусловно удовлетворяет всем требованиям задачи, если считать допустимым пользоваться не только тремя цифрами, но и знаками математических действий. Размеры, до которых возрастает при этом наше число, огромны и совершенно непредставимы. Иначе говоря: новое число изображенное В. Руденко, больше прежнего во столько же примерно раз, во сколько раз 999 больше 1-цы... Нечего и пытаться дать даже какой-либо намек на исполинские размеры этого нового числа, — раз, как я доказал, число 999 уже неизмеримо превышает число всех отдельных предметов, существующих во вселенной.
Я. Перельман.
1) В своей книге "Загадки и диковинки в мире чисел", 1924.
2) Указание на возможность прибегнуть к такому обозначению для изображения весьма больших чисел делает также и Литцман в своей (пока не изданной по-русски) новой книжечке "Великаны и карлики в мире чисел".
Я. П.