Для того чтобы извлечь корень какой-либо степени из произведения, надо извлечь корень той же степени из каждого сомножителя в отдельности и полученные результаты перемножить:
Примеры:
Из сказанного можно вывести следующее правило:
Для того чтобы перемножить корни с одинаковыми показателями, достаточно перемножить их подкоренные величины, поставив их под общий знак корня той же степени, т. е.
проверим это на примере: √16 = 4; √4 = 2; 2 · 4 = 8; с другой стороны
Результаты сходятся. Примеры:
Для извлечения корня из степени нужно показатель степени разделить на показателя корня, оставив прежнние основания
Проверим этот последний пример: 24 = 16; √16 = 4, т е. результаты совпадают.
Для того чтобы извлечь корень из дроби, надо отдельно извлечь корень этой степени из числителя и знаменателя и первый результат разделить на второй
| m | √ | a | = | m√a | ; | √ | 4 | = | √4 | = | 2 | . |
| b | m√b | 9 | √9 | 3 |
Сделаем проверку последнего примера
| ( | 2 | ) | 2 | = | 22 | = | 4 |
| 3 | 32 | 9 |
| √ | c | = | √c | ; | k | √ | a | = | k√a | ; |
| e | √e | m | k√m |
| 3 | √ | 8 | = | 3√8 | = | 2 | ; |
| 27 | 3√27 | 3 |
Если мы хотим найти квадратный корень из 9, то это значит, что надо найти число, которое, будучи возведено в квадрат, даст 9. Таким числом является 3, так как 32 = 9. Следовательно нскомый корень равняется 3. При этом совершенно безразлично, какой знак будет у корня, т. е. будет ли +3 или будет —3, так как и +32 = 9 и (—3)2 = 9, ибо два одинаковых знака всегда при перемножении дают плюс.
Следовательно, при извлечении квадратного корня мы будем иметь два числа, в вашем случае +3 и —3, одинаковые по абсолютной величине, но противоположные по знаку, которые, будучи выведены в квадрат, дают подкоренное число. Пишется это следующим образом: √9 = ±3: т. е. это значит, что корень имеет два значения: +3 и —3.
Теперь посмотрим, какие будут знаки у корня 4 степени:
Равняется он 2 потому,что 2 · 2 · 2 · 2 = 16, но, с другой стороны, (—2) · (—2) · (—2) · (—2) = 16. Следовательно, этот корень имеет тоже два значения +2 и —2, т. е.
Извлекая корень четной степени из любого положительного числа, обязательно будем иметь два значения, одинаковые по абсолютной величине, но противоположные по знаку.
Рассматривая эти примеры, мы можем вывести правило.
Корень четной степени из положительной величины всегда будет иметь два значения, одинаковые по абсолютной величине, но разные по знаку
Теперь попробуем извлечь корень четной степени из отрицательного числа. Положим, что нам нужно извлечь квадратный корень из —25. Это значит, что нужно найти такое число, которое, будучи возведено в квадрат, дало бы нам —25.
Если мы возьмем +5, то (+5)2 = +25.
Взяв —5, будем иметь (—5)2 =+25.
Положительное число, возведенное в любую степень, останется положительным. Следовательно, корень из отрицательного числа не может быть положительной величиной. Отрицательное же число, возведенное в четную степень, тоже всегда будет положительным. И поэтому корень четной степени не может быть отрицательной величиной.
Следовательно квадратный корень из —25 извлечь нельзя, так как этот корень не может быть выражен ни положительным, ни отрицательным числом, точно так же нельзя найти корни: √—4, √—16, √—1 и т. д.
Из вышесказанного можно вывести правило:
Корень четной степени из отрицательной величнны не может быть выражен никаким известным алгебре числом 1.
Теперь рассмотрим извлечение корней нечетной степени.
Извлечем корень третьей степени из 8
У этого корня будет только одно значение +2, так как
Извлекая корень пятой степени из 1, имеем
Здесь у корня тоже будет только одно значение +1, так как —1, возведенная в пятую степень, даст нам —1.
Корень нечетной степени из отрицательной величины будет отрицателен и тоже имеет только одно значение. Например:
Следовательно корень будет только один —3. Точно так же корень 5√—1 = —1, т. е. будет отрицательным и иметь одно значение, так как +15 = +1.
Рассматривая эти примеры, мы видим, что корень нечетной степени имеет тот же знак, что и подкоренная величина.
При извлечении квадратного корня из одночлена одночлен нужно рассматривать как произведение, извлекать корень в отдельности из каждого сомножителя и полученные результаты перемножить. Например:
Необходимо помнить, что корень четной степени имеет два значения.
Поэтому следует писать так: √4a²b² = ±2·a·b. В случае же нечетной степени значение будет одно
Знак корня нечетной степени определяется по знаку подкоренного количества (см. правило знаков).
В случае, если одночлен имеет вид дроби, то извлечение корня нужно делать по правилу извлечения корня из дроби.
| √ | a6 | = | √a6 | = ± | a3 | ; | √ | 4c12 | = ± | 2c6 | . |
| b10 | √b10 | b5 | 9b2 | 3b |
| 3 | √ | —a3 | = — | a3 | ; | 3 | √ | 27k9 | = | 3k3 | . |
| b3 | b | 8e27 | 2e9 |
1 Такие числа, которые получаются в результате извлечения корня четной степени из отрицательного числа, называются мнимыми числами. (стр. 407.)