И.ТОЧКИН
Мы уже познакомились1) с кривой, которая называется синусоидой (см. рис. 1). Отрезок времени, обозначенный буквой Т, называется периодом кривой, а сама кривая — периодической. Кривые этого рода обладают тем свойством, что, по прошествии определенного времени Т, величина, которую они изображают, принимает те же значения, которые она имела раньше2).
Известно, что «чистый», неискаженный, переменный ток изображается именно синусоидой. Однако нужно заметить, что в радиотехнике (а часто и в электротехнике) приходится иметь дело с токами, которые меняются по кривым, сильно отличающимся от синусоиды. Не вдаваясь в объяснения, приведем лишь некоторые примеры: детекторный ток, кривая напряжения на микрофонном усилителе, которая получается при произнесении какой-либо гласной, токи во всех цепях, в которых имеется железо, и т. п. Разбор явлений в цепях с несинусоидальными напряжениями был бы очень труден, если бы не выручало замечательное свойство подобных кривых. Оказывается, что любую периодическую кривую можно разложить на ряд синусоид с периодами, уменьшающимися в целое число раз. Поясним этот чрезвычайно важный закон, установленный французским ученым Фурье.
Обратимся к рис. 2. Кривая 1-я представляет собой простую синусоиду с периодом Т1. Тонкая 2-я кривая — тоже синусоида, но только с меньшим периодом. Пока кривая 1-я проделывает полпериода, кривая 2-я с периодом Т2 описывает уже полный период, т. е. Т2 в два раза меньше Т1. Нетрудно видеть, что период 3-й кривой равен ⅓ от Т1. По отношению к 1-й «основной» кривой кривые 2, 3 и т. д. называются второй, третьей и т. д. гармоническими или просто «гармониками».
Закон Фурье, таким образом, гласит, что, если у нас имеется сложная периодическая кривая с периодом Т, — всегда можно найти ряд кривых с периодами Т, Т/2, Т/3 и т. д. с различными амплитудами3), таких, что, складывая их вместе, мы получим в результате заданную кривую.
Из сказанного ясно, какое значение имеет для нас, если мы будем уметь находить эти гармоники. Разложение сложной кривой на простейшие синусоиды носит иногда название гармонического анализа. Его можно выполнять различными графическими способами; один из них мы и разберем сейчас. Так как полное разложение представляет собой довольно сложную операцию, мы ограничимся тем, что дадим способ нахождения амплитуд составляющих гармоник.
Прежде всего заметим, что, если кривая несимметрична относительно оси абсцисс, в ней будет иметься постоянная слагающая (например, в детектированном токе). Определение этой постоянной слагающей мы разобрали в предыдущей статье, а поэтому здесь о ней говорить не будем; прямо перейдем к определению амплитуды первой гармонической.
Пусть нам задана кривая рис. 3-а. Под ней мы строим точную синусоиду рис. 3-б (ее амплитуда должна равняться единице) и затем перемножаем кривую а на б. Эта операция нам знакома из предыдущего. Для этого нужно взять число миллиметров в отрезке АВ и помножить на отрезок А1В1, причем последний всегда должен быть правильной дробью, так как наибольшее значение синусоиды равно единице. Получится отрезок А2В2, который мы и отложим как ординату на кривой рис. 3-в. Таким образом ординаты 3-й кривой будут представлять собой не что иное, как уменьшенные в различных отношениях ординаты первой кривой. Нужно еще заметить, что хотя во второй половине заданной кривой ординаты ее отрицательны, так как идут вниз, — ординаты кривой рис. 3-в будут положительны. Это объясняется тем, что ординаты синусоиды в этом случае также отрицательны.
В результате такого построения получится кривая рис. 3-в. Теперь нужно найти ее «постоянную слагающую», т. е. определить подсчетом ее площадь и разделить на число миллиметров, заключающееся в отрезке Т. Положим, что это будет отрезок N. Удвоенное значение N, т. е. 2N, и дает амплитуду второй гармонической.
Амплитуды остальных гармоник находятся совершенно таким же приемом; только вместо умножения на простую синусоиду нужно множить ординаты заданной кривой на ординаты синусоиды, вдвое, втрое и т. д. меньшего периода. Затем нужно определить «постоянную слагающую» получаемой от этого перемножения кривой. Ее удвоенное значение и даст амплитуду искомой гармоники.
Нужно заметить, что подобное разложение дает нам приближенное изображение нашей сложной кривой. Чем больше гармоник мы возьмем, тем ближе будет подходить их сумма к заданной кривой. Однако все наши расчеты вообще приближенные. Поэтому в зависимости от задачи нескольких гармоник, — скажем, пяти или семи, — бывает вполне достаточно для изображения нужной кривой.
При разложении обнаруживается само собой понятное свойство: чем больше наша кривая похожа на синусоиду, тем меньше нужно взять гармонических, чтобы достаточно хорошо ее изобразить; тем меньше также будут их амплитуды.
На рис. 4 показано разложение треугольника. Эта кривая, за исключением макушки, очень близка к синусоиде. Поэтому у нас большая основная синусоида (1), а гармоники имеют маленькие амплитуды. На рис. 4 взяты четыре гармоники (1-я, 3-я, 5-я и 7-я). Крестиками обозначены точки, которые получаются, если сложить эти четыре кривых. Мы видим, что только около макушки 3 точки не совпали с заданным нам треугольником, остальные же прямо легли на его стороны. Итак, четырех гармоник здесь оказалось достаточно, чтобы приблизительно изобразить треугольную кривую.
Для кривых, более отличных от синусоиды, приходится брать большее количество гармоник. Особенно богата ими прямоугольная кривая, показанная на рис. 5.
1) См. «РВ» № 2.
2) Подробнее см. статью инж. А. Н. Попова. «Р. В.», 1928 г., № 4, стр. 92.
3) Амплитуда — наибольшой размах кривой по одну сторону от оси абсцисс (на рис. 1 величина I).